Wir haben seit einer Weile einen Hund – einen Rauhaardackel um genau zu sein. Und der hat so seine Eigenarten: Er ist stur wie ein Esel, entscheidet im Zweifelsfall selbst ob mein Kommando oder der vorbeifahrende Trecker von größerer Bedeutung ist und hat einen sehr ausgeprägten Freiheitsdrang. Außerdem hasst er Hitze – seine Wohlfühltemperatur endet so bei 18°C – alles darüber findet er eigentlich unzumutbar und so habe ich die "Dackeldusche" erfunden und gehe im Sommer immer mit einer Blumenspritze auf unsere Spaziergänge. Das sieht albern aus, hilft aber etwas.

Einige dieser Eigenarten kannte ich natürlich schon als "dackeltypisch", aber das mit der Temperatur hatte ich nicht erwartet. Von den Labradoren die wir früher hatten kannte ich diese Temperatursensibilität nicht (und auch manch anderes...).

Und so stellt sich die Frage: "Warum sind kleine Hunde im Vergleich zu großen so temperaturempfindlich?" Eine Umfrage unter Hundebesitzern scheint genau dies zu ergeben. Im Netz fand ich den Erklärungsversuch, die kleinen Hunde seien halt näher am heißen Asphalt und würden daher überhitzen. Das klingt für mich nach kreativem Unsinn. Ein so weltbewegendes Problem darf nicht ungelöst bleiben und so versuchen wir uns dem mal wissenschaftlich zu nähern.

Ich vermute, das hat eher etwas mit der Aufnahme und Abstrahlung von Wärme zu tun.

Annahmen

Gegeben sei ein Dackel \(d\) und diverse andere Hunde \(h_1\), \(h_2\), etc. unterschiedlicher Größe

Die Wärmekapazität \(C\) eines Hundes ist das Verhältnis der zugeführten Wärme \(Q\) zur dadurch bewirkten Temperaturerhöhung. Nehmen wir an, dass der Hund homogen ist, ergibt sie sich aus dem Produkt der spezifischen Wärmekapazität und der Masse:

Die Wärmezufuhr erfolgt durch Sonnenbestrahlung, sowie die warme Luft, die den Hund umgibt und ist somit proportional zur Oberfläche des Hundes. Die Masse des Hundes hingegen ist proportional zum Volumen.

Um unsere Betrachtungen zu erleichtern gehen wir von sphärischen Hunden aus. Damit ergibt sich für Volumen und Oberfläche:

und

Hier eine kleine Illustration der geometrischen Situation:

Wie man nun leicht erkennen kann hängt die Erwärmung des Hundes also vom Verhältnis von Oberfläche zu Wärmekapazität ab und somit vom Quotienten Oberfläche zu Volumen:

Betrachten wir nun die Abhängigkeit dieses Quotienten vom Radius des Hundes, so ergibt sich folgendes Bild:

Um das Ganze etwas praxistauglicher zu machen zeigen wir das auch nochmal gegen das Gewicht des Hundes, das in der Praxis einfacher zu bestimmen ist als der Radius. Hunde bestehen neben Wasser auch aus Fett, Knochen und Fell. Die typische Dichte dürfte also bei ca. \(\rho_h = 937 kg/m^3\). liegen.

In der folgenden Grafik habe ich beispielhaft einen Dackel mit 7kg und einen Labrador mit 30kg eingezeichnet:

Das gleiche Prinzip gilt natürlich auch bei Kälte. Ich denke damit dürfte ein weiteres Rätsel der Welt aufgeklärt sein. Die einzig offene Frage ist, warum Katzen mit 3-8 kg Hitze ohne Probleme ertragen und sogar genießen. Meine Theorie ist, dass Katzen die Physik einfach völlig egal ist – die leben eh nach ihren eigenen Regeln.

Hausaufgabe

In obigen Betrachtungen gingen wir davon aus, Hunde seien sphärisch. Dackel sind aber in der Praxis zylindrisch.

a) Berechne Oberfläche und Volumen für Dackel der länge \(l_d ∈ [0.5m, 0.8m]\) unter der Annahme \(\frac{l_d}{r_d} = 9.82\)

b) Zeichne das Masse zu \(A/V\) Diagramm

c) Kauf ein Wiener Würstchen und gib es dem Dackel.